Bentuk pangkat akar dan logaritma

bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ ; b $\neq$ 0 dan a,b $\epsilon$ bilangan bulat.

Contoh:

Desimal berhingga (0,25= $\frac{25}{100}$ )

desimal berulang (1,234234...)
misal $\chi$ =1,234234...
maka 1000x =1.234,234234...
....................____________-
sehingga 999x=1.233
..................x=1.233
.................... ______
......................999

Sifat bilangan rasional dengan a,b,c dan d ,bilangan rasional maka : $\frac{a}{1}$ =a

Contoh:

$\frac{81.008}{1}$ =81.008

$\frac{41.283}{1}$ =41.283

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc$

Contoh:

$\frac{x}{4}=\frac{6}{12}\Rightarrow 12x=6x4$

.......................12x=24

..........................x= $\frac{24}{12}$

...........................x=2

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$

Contoh:
$\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{3+4}{12}$

.............. $=\frac{7}{12}$

$\frac{a}{b}x\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

Contoh:
$\frac{2}{7}x\frac{14}{5}=\frac{2x14}{7x5}$

.............. $=\frac{28}{35}$

.............. $=\frac{4}{5}$

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}x\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Contoh:

$\frac{2}{3}:\frac{6}{15}=\frac{2}{3}x\frac{15}{6}$

............... $=\frac{2x15}{3x6}$

............... $=\frac{30}{18}$

............... $=\frac{5}{3}$

$\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b},c\neq 0$

Contoh:
$\frac{6}{15}=\frac{3x2}{3x5}=\frac{2}{5}$

B. Bilangan Irasional
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b};b\neq 0;dan ,a,b\epsilon$ bilangan bulat.

Contoh:
c=2,7182818...
$\pi$ =3,141592654

$\sqrt{2}$ =1,414213562...

$\sqrt{3}$ =1,732050808...

$\sqrt{5}$ =2,236067978...

$\sqrt{7}$ =,2645751311...

C.Bilangan Berpangkat
${a}^{n}$ dibaca a pangkat n adalah perkalian berulang a sebanyak n kali.

${a}^{n}$ =a X a X a X ...X a
(perkalian a sebanyak n)

Contoh:
${2}^{3}$ =2 x 2 x 2
..=8
${7}^{4}$ =7x7x7x7
..=2.401

Sifat-sifat pada operasi perpangkatan:

${a}^{m}x{a}^{n}={a}^{m+n}$

Contoh;

${5}^{3}x{5}^{6}={5}^{3+6}$

.........= ${5}^{9}$

.........=1.953.125

${a}^{m}:{a}^{n}={a}^{m-n}$

Contoh:

${4}^{5}:{4}^{3}={4}^{5-3}$

..........= ${4}^{2}$

..........=16

${(a}^{m)n}={a}^{mxn}$

Contoh:

${(10}^{2)3}={10}^{2x3}$

.............= ${10}^{6}$

.............=1000.000

${(ab)}^{m}={a}^{m}.{b}^{m}$

Contoh:

${(7y)}^{3}={7}^{3}{y}^{3}$

.............=343 ${y}^{3}$

${a}^{0}=1,{a}\neq 0$

Contoh:

${9}^{0}=1$
${9.999}^{0}=1$

${a}^{-m}=\frac{1}{{a}^{m}}$

Contoh:

${5}^{-2}=\frac{1}{{5}^{2}}$

....... $=\frac{1}{25}$

$\left(\frac{a}{b} \right){}^{-m}=\frac{{b}^{m}}{{a}^{m}}$

Contoh:

$\left(\frac{3}{4} \right){}^{-2}=\frac{{4}^{2}}{{3}^{2}}=\frac{16}{9}$

Contoh:
Tentukan Nilai x yang memenuhi persamaan berikut:

${4}^{x}=\frac{1}{16}$

${4}^{x}=\frac{1}{{4}^{2}}$

${4}^{x}={4}^{-2}$

$x=-2$

1.Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Untuk a dan b bilangan positif akan berlaku:

$\sqrt[n]{{a}^{m}}={a}^{\frac{m}{n}}$

Contoh:

$\sqrt[3]{243}=\sqrt[3]{{3}^{5}}={3}^{\frac{5}{3}}$

$\sqrt[m]{axb}=\sqrt[m]{a}x\sqrt[m]{b}$

Contoh:

$\sqrt{20}=\sqrt{4} x\sqrt{5}$

....... $=2\sqrt{5}$

$\sqrt[m]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}$

Contoh:

$\sqrt[3]{\frac{4}{15}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{15}}$

$a\sqrt[m]{c}:b\sqrt[m]{c}=\frac{a}{b}$

Contoh:

$2\sqrt[3]{5}:4\sqrt[3]{5}=\frac{2}{4}$

....... $=\frac{1}{2}$

$a\sqrt[m]{c}+-b\sqrt[m]{c}=\left(a+-b \right)\sqrt[m]{c}$

Contoh:

$5\sqrt[3]{7}+4\sqrt[3]{7}=\left(5+4 \right)\sqrt[3]{7}=9\sqrt[3]{7}$

$14\sqrt{10}-\sqrt{40}=14\sqrt{10}-\sqrt{4X10}$

................ $=14\sqrt{10}-2\sqrt{10}$

................ $\left(14-2 \right)\sqrt{10}$

................ $=12\sqrt{10}$

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut:

${x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}$

$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{36}}$

x = 36

2.Merasionalkan Bentuk Akar

Untuk pecahan berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ ,maka:

$\frac{a}{\sqrt{b}}X\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$

Contoh:

$\frac{a}{\sqrt{3}}X\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Untuk pecahan berbentuk $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$ ,maka:

$\frac{a}{b+\sqrt{c}}X\frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}}=\frac{a\left(b-c\sqrt{c} \right)}{{b}^{2}-c}$

$\frac{a}{b-\sqrt{c}}X\frac{b+\sqrt{c}}{b+\sqrt{c}}=\frac{a\left(b+\sqrt{c} \right)}{{b}^{2}-c}$

Contoh:

$\frac{4}{2+\sqrt{3}}X\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{4\left(2-\sqrt{3} \right)}{{2}^{2}-3}$

.................= $\frac{8-4\sqrt{3}}{1}$

.................=8-4 $\sqrt{3}$

$\frac{3}{1-\sqrt{2}}X\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{3\left(1+\sqrt{2} \right)}{{1}^{2}-2}$

..................= $\frac{3+3\sqrt{2}}{-1}$

..................= $-3-3\sqrt{2}$

Untuk perpecahan berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ ,maka:

$\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}X\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c} \right)}{b-c}$

$\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}X\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a\left(\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)}{b-c}$

Contoh:

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}X\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{1\left(\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}{2-3}$

......................= $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}$

......................= $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}X\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{6\left(\sqrt{5}+\sqrt{2} \right)}{5-2}$

......................= $\frac{6\left(\sqrt{5}+\sqrt{2} \right)}{3}$

......................= $2\left(\sqrt{5}+\sqrt{2} \right)$

D. Logaritma

Logaritma adalah invers dari bilangan berpangkat:

${a}^{n}=b\Leftrightarrow {}^{a}log. b=n$

Keterangan:
${a}^{}$ disebut basis dan b disebut numerus.
${}^{10}log$ b biasa ditulis log b.

Contoh:

${4}^{3}=64\Leftrightarrow {}^{4}log.64 = 3$

${2}^{5}=32\Leftrightarrow {}^{2}log.32 = 5$

$x={}^{3}log.9\Leftrightarrow {3}^{x}=9$

...................... ${3}^{x}={3}^{2}$

....................... $x=2$

$a {}^{a}log m=m$

Contoh:

$3 {}^{3}log9={3}^{2}$

...........=9

$2 {}^{2}log32={2}^{5}$

...........=32

$a {}^{y}log .{m}^{x}=\frac{x}{y} . {}^{a}log .m$

Contoh:

$3{}^{2}log.64=3{}^{2}log{2}^{6}$

...........= $\frac{6}{2}. {}^{3}log2$

...........= ${3}^{2}log2$

${}^{a}logm=\frac{{}^{b}logm}{{}^{b}loga}$

Contoh:

${9}_{log} 18= \frac{{3}_{log}18}{{3}_{log}9}$

...........= $\frac{{3}_{log\left(9X2 \right)}}{2}$

...........= $\frac{{3}_{log} 9+{3}_{log} 2}{2}$

...........= $\frac{2+{3}_{log} 2}{2}$

...........= $1+\frac{1}{2} {3}_{log} 2$

${a}_{log} m .{m}_{log} n ={a}_{log} n$

Contoh:

${2}_{log} 8 .{8}_{log} 4 ={2}_{log} 4$

...........=2

${2}_{log}8.{8}_{log}4=3.\frac{2}{3}$

...........=2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut:

${5}_{log}\left(x+4 \right)+{5}_{log} x=1$

${5}_{log}\left(x+4 \right)x={5}_{log} 5$

${5}_{log}\left({x}^{2}+4x \right)={5}_{log}5$

${x}^{2}+4x=5$

${x}^{2}+4x-5=0$

$\left(x+5 \right)\left(x-1 \right)=0$

$x+5=0$ atau $x-1=0$

$x=-5............x=1$

$x=-5 \left(bukan jawab \right)$

$x=1 \left( jawab \right)$

Fungsi Kuadrat.

Grafi fungsi kuadrat $f\left(x \right)={ax}^{2}+bx+c,a\neq 0$

-Jika a>0 grafik terbuka ke atas, dan Jika a<0 grafik terbuka kebawah.
-Titik potong terhadap sumbu y(x=0) adalah (0,c) dan titik potong terhadap sumbu x(y=0) adalah tergandung nilai D.
-Titik balik/puncak $\left(-\frac{b}{2a},\frac{D}{4a} \right)$

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah tiga atau lebih persamaan linear dengan tiga variabel yang saling berhubungan (berguna untuk mencari nilai variabelnya)

$ax+by+cz=d$
$ex+fy+gz=b$
$ix+jy+kz=l$

dengan $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l \in$ R
Berikut ini cara untuk menyelesaikan sustem persamaan linear tiga variabel

1 Metode Grafik

Secara geometri,persamaan linear dapat diwakili oleh sebuah bidang,Adapun peyelesaiannya merupakan titik perpotongan antara bidang-bidang yang ada
Namun metode ini jarang digunakan karena diamggap sulit.

-Jika perpotongannya berupa titik (x.y) artinya sistem persamaan linear memiliki penyelesaian tunggal.
-Jika perpotongan berupa garis,artinya sistem persamaan lancar memiliki banyak penyelesaian.
-Jika bidang-bidang yang ada tidak berpotongan artinya sistem persamaan linear tidak memiliki penyelesaian

2.Metode Subtitusi

Contoh:

$x+y-z=4 ...(1)$
$2x+3y+z=7...(2)$
$x+2y+3z=2...(3)$

persamaan (1)
$x+y+z=4\Rightarrow x=4-y+z...(4)$
(4) disubtitusikan ke persamaan (2) dan (3)
$2(4-y+z)+3y+z=7$
$8-2y+2z+3y+z=7$
$y+3z=-0$
$y=-14z=-1-3z...(5)$
$(4-y+z)+2y+3z=2$
$y+4z=-2...(6)$
(5) disubtitusikan ke persamaan (6)
$(-1-3z)+4z=-2$
$z=-1$
$y=-1-3(-1)=2$
$x=4-(2)+(-1)=1$
$HP=((1,2,-1))$

3.Metode Eliminasi

Contoh:

x+y-z =4...(1)

2x+3y+z=7...(2)

x+2y+3z=2...(3)

(1) dan (2) hilangkan z

$x-y-z-4$
$\frac{2x+3y+z=7}{3x+4y=11........(4)}+$

(1) dan (3) hilangkan z

$x+y-z=4\mid x3\mid 3x+3y-3z=12$
$x+2y+3z=2\mid x1\mid \frac{x+2y+3z=2}{4x+5y=14...(5)}+$

(4) dan (5) hilangkan y

$3x+4y=11\mid x5\mid 15x+20y=55$
$4x+5y=14\mid x4\mid \frac{16x+20y=56}{x=-1}-$
x=1

(4) dan (5) hilangkan x

$3x+4y=11\mid x4\mid12x+16y=44$
$4x+5y=14\mid x3\mid\frac{12x+15y=42}{y=2}-$

subtitusikan ke persamaan (1)

1+2-z=4

-z=1
z=-1
HP=((1,2,-1))

C. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat
Sistem persamaan linear dan kuadran adalah sitem persamaan yang mengandung persamaan linear (garis lurus) dan persamaan kuadrat (parabola).

$y=ax+b$
$y=p{px}^{2}+qx+r$

dengan $a,b,q,r,\in R$

Secara geometri persamaan linear dapat diwakili oleg garis lurus dan persamaan kuadrat diwakili oleh parabola.Adapun penyelesaiannya merupakan titik perpotongaan antara keduanya.
${px}^{2}+qx+r=ax+b$
${px}^{2}+(q-a)x+(r-b)=0$
$D=(q-a){}^{2}-4p(r-b)$

Thread Tools	Search this Thread
Show Printable Version Email this Page	Search this Thread: Advanced Search